Автор статьи высказывает свою точку зрения, которая может отличаться от позиции редакции «Педсовета».
Каждый опытный математик понимает, что такое независимость двух событий.
Определение 1События А и В считаются независимыми, когда вероятность одного события не меняется при наступлении другого. Это выражается двумя формулами:
P (A) = P (A|B) = P (A|); P (B) = P (B|A) = P (B|).
В обычных школьных учебниках данное понятие объясняется по-другому.
Определение 2. События А и В называются независимыми, если P (AB) = P (A) P (B).
Для сокращения назовем первое определение «научным», а второе — «школьным».
Два определения заслуживают сравнения. Первое отличие — научное определение сложнее проверить. Однако смысл его абсолютно ясен: события независимы, если не влияют друг на друга. Таким образом, вероятностная независимость согласуется с обыденным пониманием и не противоречит логике и здравому смыслу.
Определение независимости, используемое в школе, кажется неестественным. В чем причина называния второго упоминаемого равенства «независимостью событий»?
Между научными и школьными понятиями независимости оказалось несоответствие. Появился вопрос о том, какие условия нужно применить к событиям для достижения равноправия этих определений.
Под достаточно нетяжелыми ограничениями удалось добиться желаемой равносильности. Кроме того, при таких ограничениях проверить «научную» независимость событий стало значительно проще: вместо шести уравнений достаточно установить лишь одно.
удалось сформулировать и доказать следующую теорему. В ней под независимостью событий понимается «научная» независимость, что, по моему мнению, является методологически верным; «школьная» независимость — это условие 7 в формулировке теоремы.
Теорема о критерие независимости случайных событий.
Пусть вероятности событий А и В не равны ни 0, ни 1.
События А и В независимы при соблюдении любого из семи взаимоэквивалентных утверждений.
- P (A) = P (A|B);
- P (A) = P (A|);
- P (A|B) = P (A|);
- P (B) = P (B|A);
- P (B) = P (B|);
- P (B|A) = P (B|);
- P (AB) = P (A) P (B).
Доказательство.
Сперва докажем равноценность семи условий (с учётом ограничений из теоремы).
Условие 1 эквивалентно формуле вычисления условной вероятности: Р(А) = Р(АВ)/Р(В). Что равнозначно пункту 7.
Аналогично 4 равносильно 7.
В рамках данного утверждения условия номер 1, 4 и 7 эквивалентны.
Заметим: Р (А) = Р (А(В+)) = P (A+АВ) = P (A) + Р(АВ), откуда P (A) = Р (А) – Р(АВ).
Условие 2 эквивалентно ряду равенств: P(А) = P (A)/P () = (Р(А) – Р(АВ))/(1 – Р(В)), то есть P(А) – P(А)Р(В) = P(А) – P(АВ), а значит, P(А)Р(В) = P(АВ), что совпадает с условием 7.
Аналогично условие 5 равносильно условию 7.
Условия два и пять эквивалентны седьмому.
Условие 3 эквивалентно равенству P(AB)/P(В) = P(A)/P() = (Р(А) – Р(АВ))/(1 – Р(В)), т. е. Р(АВ) – Р(АВ)Р(В) = Р(А)Р(В) – Р(АВ)Р(В) (перемножили в первой и последней дробях числители и знаменатели «крест-накрест», как при работе с пропорциями), откуда.
Р(АВ) = Р(А)Р(В), а это опять-таки условие 7.
Аналогично условие 6 равносильно условию 7.
Условия 3 и 6 эквивалентны условию 7, значит, каждое из условий от 1 до 7 равнозначно остальным.
Переходим теперь к доказу нашего критерия.
Примем к рассмотрению, что события А и В независимы в научном смысле. Тогда согласно определению 1 независимости двух событий выполняются условия 1 – 6. Исполнение хотя бы одного из этих шести условий по доказываемому ранее гарантирует выполнение условия 7.
В одну сторону теорема доказана.
Пусть выполняется по крайней мере одно из условий 1–7. Тогда, согласно ранее доказанному, верны и остальные условия с 2 по 7. Следовательно, выполняются условия 1–6, которые вместе образуют определение независимости событий А и В. Теорема доказана в обоих направлениях.
Таким образом, теорема доказана полностью.
Это доказательство понятно ученикам 9–11 профильных математических классов, как показал мой практический опыт.
Искренне надеюсь, что материалы данной статьи и сформулированный в ней критерий независимости двух случайных событий окажутся полезными для преподавателей вероятности и статистики.