Дети младшего школьного возраста привыкли считать или указывать порядковый номер предметов с помощью чисел. Открытием для них может стать существование не только положительных, но и отрицательных чисел. В средней школе, когда учащиеся знакомятся с целыми числами, могут возникнуть трудности при выполнении арифметических действий с ними.
В этой статье просто расскажем о том, что такое целое число, в чём его отличие от натурального и какими характеристиками оно обладает.
Содержание:
- Что такое целые числа?
- Какими бывают целые числа?
- Все свойства целых чисел
- История изучения целых чисел
- Часто задаваемые вопросы по теме
- Как называются числа без десятичных знаков?
- Как выглядят целые числа?
- Какова разность между натуральными и целочисленными числами?
- Ноль — это целое число или нет?
Что такое целые числа?
Studio.G photography/Shutterstock.com
В начальной школе дети познакомятся с понятием натуральных чисел — числами, которые применяются для подсчёта. С помощью натуральных чисел ребёнок сможет посчитать количество игрушек, конфет или любых других предметов. Но уже начиная с пятого класса вводится определение целых чисел: Сюда входят все натуральные числа, их отрицательные значения и ноль. К целым числам принадлежат все положительные и отрицательные числа, а также ноль.
Целые числа нужны для расчётов с положительными и отрицательными значениями. Только натуральными числами такие операции выполнить нельзя. Например, из меньшего числа при вычитании большего получается отрицательное число.
Предположим, нужно решить задачу: днем воздух прогрелся до 3°, а ночью похолодало на 9°. Чтобы узнать ночную температуру, можно воспользоваться простым примером.
3–9 = –6
Отличительная особенность целых чисел — отсутствие дробной частиЧисла типа 314, -0,5 или 10,25 не считаются целыми, поскольку выражают десятичные дроби.
Ряд целых чисел бесконеченВ связи с этим определить наибольшее или наименьшее целое число невозможно. Множество целых чисел обозначается символом Z — по первой букве немецкого слова «Zahlen», означающего «числа». Представить это множество можно так:
{∞… –4, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, 4,…∞}
Какими бывают целые числа?
granata68/Shutterstock.com
Числа с целым значением визуализируются на числовой оси: нуль находится посередине, влево от него — отрицательные значения, вправо — положительные.
Таким образом, целые числа могут быть как положительными, так и отрицательными.
- Положительные целые числаЭто положительные целые числа, которые всегда больше нуля: 21, 5, 156 и так далее.
- Отрицательные целые числаЭто целые числа с знаком «минус», то есть всегда меньшие нуля: -7, -23, -752 и так далее. Все положительные, отрицательные числа и ноль составляют бесконечное множество целых чисел.
Что касается нуля, то он не является ни положительным, ни отрицательным числом. Все положительные целые числа вместе с нулём неотрицательнымиВсе отрицательные целые числа, включая ноль, называются… неположительными целыми числами.
Неотрицательные числа — это все значения от нуля и выше (100, 45, 0), а неположительные — все значения ниже или равные нулю (-17, 0, -129). Такая терминология упрощает формулировку задач. Например, вместо того чтобы говорить, что число b — целое число, меньше или равно нулю, можно просто сказать, что оно неположительное.
Обеспечьте безопасность ребенка при отправке его в школу. Установите приложение «Где мои дети»Чтобы узнать местоположение, время нахождения и происходящее вокруг!
Все свойства целых чисел
Daniel Jedzura/Shutterstock.com
Целые числа имеют важные особенности, необходимые для выполнения над ними арифметических операций.
- замкнутостьПри сложении, вычитании или умножении целых чисел результат будет целым числом.
- переместительностьПорядок действий при сложении и умножении целых чисел не влияет на итог (например, 4 + 2 = 2 + 4). Однако вычитание и деление целых чисел таким свойством не характеризуются.
- распределительностьУмножая целое число на сумму двух целых чисел, можно сначала умножить каждое слагаемое на это число, а затем сложить произведения. То же свойство применяется к делению целых чисел.
- разность знаковПри умножении положительного числа на отрицательное результат всегда будет отрицательным. Умножение чисел с одинаковыми знаками даёт положительный результат.
- сочетательностьСкладывая и умножая целые числа (три или более), можно менять их порядок группировки без влияния на итог. Например: 6 * (4 * 2) = (6 * 4) * 2.
- свойство нуля при сложении и вычитанииСложение нуля к целому числу или вычитание его не изменяет результат (5+0=5; 5-0=5).
- свойство нуля при умножении и деленииУмножив любое число на ноль, получится ноль (7*0=0). Деление на ноль невозможно. При делении нуля на любое число результат будет равен нулю (0:7=0).
- свойство противоположного элементаСумма идентичных чисел с противоположными знаками равна нулю; пример: 9 + (-9) = 0.
- свойство единицы при умножении и деленииУмножение или деление любого целого числа на единицу не меняет его значения.
Мы отобразили основные свойства сложения, вычитания, умножения и деления целых чисел в виде таблицы с примерами.
| Действие | Свойство | Пример |
| Сложение | Замкнутость | a+b∈Z |
| Переместительность | a+b=b+a | |
| Сочетательность | a+(b+c)=(a+b)+c | |
| Свойство нуля | a+0=a | |
| Свойство противоположного элемента | a+(–a)=0 | |
| Вычитание | Замкнутость | a–b∈Z |
| Свойство нуля | a–0=a | |
| Разница между двумя идентичными целыми числами всегда равна нулю. | a–a=0 | |
| Свойство вычитания целого числа из суммы двух чисел. | (a+b)–c=a+(b–c)=(a–c)+b | |
| Операция отнесения части к общему количеству. | a–(b+c)=a–b–c | |
| Умножение | Замкнутость | a*b∈Z |
| Переместительность | a*b=b*a | |
| Сочетательность | a*(b*c)=(a*b)*c | |
| Распределительность | a*(b+c)=a*b+a*c | |
| Свойство единицы | a*1=a | |
| Свойство нуля | a*0=0 | |
| Разность знаков | a*(–b)= –ab ⠀ (–a)*(–b)=ab |
|
| Деление | Распределительность | (a+b):c=a:c+b:c ⠀ (a–b):c=a:c–b:c |
| Разность знаков | a:(–b)= –c ⠀ (–a):(–b)=c |
|
| Каждый целый номер разделяет ноль. | 0:a=0 | |
| Каждый целый номер делится на единицу и на собственное значение. | a:1=a ⠀ a:a=1 |
История изучения целых чисел
Djakandakandaduo/Shutterstock.com
Теория чисел, исследующая свойства целых чисел, восходит к глубокой древности. Более шести тысяч лет назад натуральные числа применяли для подсчета скота, мешков с зерном и других физических предметов.
Развитие теории чисел продолжилось во втором веке до нашей эры с появлением отрицательных чисел. В Древнем Китае их применяли для обозначения суммы долга. В Европе же отрицательные числа стали использовать только в средние века.
В течение длительного времени учёные не могли прийти к единому мнению по поводу использования и свойств таких чисел, и лишь в XIX веке сформировалась теория отрицательных чисел.
Число 0 имело собственную сложную историю становления. Вавилонские учёные и племена майя знали о его существовании ещё в III веке до нашей эры. Однако тогда не считали ноль числом, а обозначали специальными знаками: двумя стрелами, поставленными наискось у вавилонян, и пробелом у майя. Современное обозначение нуля появилось у индийцев в V веке.
Трудно представить сейчас выполнение каких-либо арифметических операций без нуля или отрицательных чисел. Целые числа применяются во множестве областей: математике, физике, информатике, экономике и других. Без положительных и отрицательных чисел было бы сложно даже в обыденной жизни. Поэтому важно помочь ребенку освоить эту новую и для него сложную тему.
Часто задаваемые вопросы по теме
Чтобы оценить усвоение материала ребенком, задайте ему вопросы по этой теме.
Какими числами считать целыми?
Целыми называются положительные числа, отрицательные и нуль.
Как выглядят целые числа?
Целые числа состоят из натуральных чисел (1, 2, 3, 4…) и их противоположностей (–1, –2, –3, –4…), а также нуля. У них нет дробной части. Числа 514, –2,25 или 0,175 не являются целыми.
Чем натуральные числа отличаются от целых?
Для подсчёта предметов применяются положительные числа от единицы до бесконечности, называемые натуральными. Целые числа охватывают натуральные, так как включают в себя также отрицательные числа и ноль. Всякое натуральное число является целым, но не каждое целое число относится к натуральным.
В множество рациональных чисел входят целые, натуральные числа и обыкновенные дроби.
Ноль — это целое число или нет?
Верно, ноль — целое число, однако не натуральное.