Содержание:
- Основные определения в задачах с процентами
- Основные типы задач на проценты
- Задачи по расчету процентного содержания, концентрации и %(ых) растворов.
- Как увеличить число на процент
- Как уменьшить число на процент
- Разные задачи на проценты: с решениями
- Цели заданий Единого государственного экзамена.
- Три совета для обучения школьников решению задач с процентами на уроках и ЕГЭ.
- Список литературы по теме статьи
Учителя средних и старших школ используют в работе правила и тесты для решения задач с процентами по математике. В статье собраны основные примеры таких упражнений, а также практическое руководство по типам задач на «процентное содержание», «концентрацию», «смеси и сплавы» с основными правилами работы со знаками десятичных дробей и обыкновенных дробей.
В завершение материала для педагогов представлен чек-лист по подготовке к ЕГЭ по математике по задачам с использованием процентов.
Основные определения в задачах с процентами
Понятие выражения частей целого долями появилось в древности у вавилонян, использовавших систему исчисления на базе 60, а не 100. В Древнем Риме проценты обозначали деньги, которые должник выплачивал за каждую сотню.
Применение процентов постепенно расширилось и ныне используют не только в финансовых расчётах, но и в статистике, науке, технике.
Проценты оказывают влияние на ежедневную жизнь, затрагивая инфляцию, рост цен и составление бюджета, а значит, уроки по их расчету будут полезны даже после школы.
Педагогу важно ознакомить детей с ключевыми терминами для понимания решения задач с процентами.
- Процент Это одна сотая часть числа. Процентное выражение показывает, какая доля из целого составляет определенная часть. Пример: 25% от числа равны одной четвертой части этого числа.
- Целое Целое число — это число без дробной части. К примеру, 5, -3 и 0 являются целыми числами. В задачах с процентами целым числом может быть общая сумма, по которой вычисляется процент.
- Часть Это то, что отличается от остального. В задачках с процентами часть показывают в процентах от некоторого числа. К примеру, 30% от 200 равняется 60, где 60 — это часть от числа 200.
- Дробь Это число, выражаемое отношением двух чисел, например, 1/4 или 3/5. Дробь часто применяется при расчётах процентов, поскольку проценты также могут быть представлены в виде дробей. Например, 25% = 1/4.
Основные типы задач на проценты
В математике бывает полезно оперативно находить долю числа, которую составляют проценты, или определять исходное число по его процентному значению.
Ниже рассмотрим типичные задачи по теме и предложим понятные методы их решения. Это поможет научить школьников быстро и уверенно справляться с примерами на проценты, а также чувствовать себя готовыми к экзаменам и использовать знания из школьной жизни в повседневности.
Как найти процент (дробь) от числа
Одна процента — это стотая часть числа. Для вычисления этой части необходимо поделить число на сто или умножить его на 0,01.
Чтобы найти 1% от числа, нужно умножить его на 0,01. Для нахождения 5% от числа необходимо умножить данное число на 0,05.
|
Пример. Найти: 25% от 120 Решение: 1) 25% = 0,25 2) 120 × 0,25 = 30 Ответ: 30 |
|
Пример. Мастер изготовлял 40 деталей за час. Новая сталь для резца позволила ему делать на 10 деталей больше каждый час. Во сколько раз возросла производительность мастера? Решение. Чтобы решить задачу, необходимо выяснить, сколько процентов составляют 10 деталей из 40. Для этого сначала определим, какую часть от числа 40 составляет число 10. Делим 10 на 40 и получаем 0,25. В процентах это будет 25%. Ответ. Производительность труда токаря повысилась на 25%. |
Как вычислить долю одного числа относительно другого?
|
Пример. В составе куска бронзы массой 6 килограммов олова и 34 килограмма меди, сколько процентов приходится на медь? Решение: 1) 6 + 34 = 40 (кг) — масса всего сплава 2) (34 ÷ 40) × 100 = 0,85 × 100 = 85% — столько сплава составляет медь Ответ: 85% |
|
Пример посложнее. Каким будет конечное значение цены товара после первоначального повышения на 25% и последующего снижения на 25%? Решение:
Ответ. Первоначальная цена товара снизилась на 6,25% |
Как найти число по его проценту
|
Пример. Найти число, если 15% его равны 30 Решение: 1) 15% числа — это 30, значит, само число в 100/15 = в 6,67 раз больше 2) 30 ÷ 0,15 = 200 Ответ: 200 |
|
Другой пример. Сколько можно получить сушеных грибов из 22 килограммов свежих, если в свежих 90% воды, а в сухих 12%? Решение: 1) В свежих грибах 10% сухого вещества: 22 × 0,1 = 2,2 кг Из рассуждений следует, что в изначальной массе сушеных грибов было 2,5 кг. Ответ: 2,5 кг |
Задачи по расчету процентного содержания, концентрации и %-го раствора.
Процентное содержание: процентный раствор
|
Пример. Сколько килограммов соли содержится в десяти килограммах соленой воды при содержании соли пятнадцати процентов? Решение: 10 × 0,15 = 1,5 кг соли Ответ: 1,5 кг Массовая доля вещества в растворе (например, 15%) иногда именуется %-м раствором, например, 15%-м раствором соли. |
|
Другой пример. Сколько процентов олова и цинка содержится в сплаве, если в нем 10 килограммов олова и 15 килограммов цинка? Решение: В составе сплава доля вещества выражается как его вес по отношению к весу всего сплава. 1) 10 + 15 = 25 (кг) — сплав 2) 10/25 × 100% = 40% — процентное содержание олова в сплаве 3) 15/25 × 100% = 60% — процентное содержание цинка в сплаве Ответ: 40% и 60% |
Концентрация
Если содержание вещества в соединении по массе равно р %, то масса этого вещества равна р % от массы всего соединения.
p% — это доля от 100.
|
Пример. Необходимо определить количество чистого серебра в сплаве при условии, что его содержание равно 87%. Решение: 300 × 0,87 = 261 г Ответ: 261 г В данном случае показана концентрация вещества, рассчитанная в процентах. |
Объемная концентрация компонента в растворе – это отношение объема чистой компоненты к общему объёму смеси. Сумма концентраций всех компонентов смеси всегда равна единице.
При известном процентном содержании вещества можно определить концентрацию по формуле.
K = p / 100, где
- K — концентрация вещества,
- p — процентное содержание вещества (в процентах).
|
Пример. Два сплава: первый содержит 40%, второй — 20% серебра. Сколько килограммов второго сплава необходимо добавить к 20 килограммам первого, чтобы получился новый сплав с содержанием серебра 32%? Решение. Для получения нового сплава требуется соединить 20 килограммов первого сплава с X килограммами второго. Общая масса получившегося сплава будет составлять (20 + Х) килограмм.
1) Составим уравнение: 8 + 0,2Х = 0,32 × (20 + Х) 2) Решаем: 8 + 0,2Х = 6,4 + 0,32Х Ответ. К двадцати килограммам первого сплава следует добавить тринадцать с тремя десятыми килограммами второго, для получения сплава, состоящего из тридцать двух процентов серебра. |
|
Еще пример. К пятнадцати литрам десятипроцентного раствора соли прилили пятьпроцентный раствор соли, получив восемьпроцентный раствор. Сколько литров пятипроцентного раствора прилили? Решение. Добавив Х литров пятипроцентного раствора соли, объем получившегося раствора увеличился до (15 + Х) литров. В нем содержится 0,8 × (15 + Х) литров соли. В пятнадцати литрах десятипроцентного раствора находится полтора литра соли, в Х литрах пятипроцентного раствора — ноль с шестёрками на х литров соли. Составим уравнение 1,5 + 0,05Х = 0,08 × (15 + Х) Ответ. Добавили 10 л 5%-ного раствора. |
Как увеличить число на процент
Для увеличения положительного числа а на p процентов нужно умножить число а на коэффициент увеличения: k = (1 + 0,01p).
|
Пример. Какой была начальная сумма вклада, если через два года по ставке 25% годовых в банке образовалось 13 125 рублей? Решение. Если а рублей — первоначальный вклад, то через год сумма составит 1,25а, а через два года — 1,25 × 1,25а. Решая уравнение 1,25 × 1,25а = 13 125, находим а = 8 400. Ответ: 8 400 рублей. |
Как уменьшить число на процент
Для уменьшения положительного числа а на р процентов достаточно умножить его на коэффициент уменьшения k = (1 — 0,01р).
|
Пример. В марте цена нефти снизилась на 25% относительно цен февраля. На сколько процентов мартовская цена изменилась по сравнению с январской? Решение: 1) Пусть январская цена нефти = х 2) В феврале цена увеличилась на 12%, значит: Февральская цена = х + 12% от х = 1,12 × х В марте цена снизилась на 25%. Февральская цена составила 100%, а мартовская — 75%. Мартовская цена = 1,12 × х × 0,75 = 0,84 × х Рассмотрим разницу цен между мартом и январем. В январе цена была х (или 100%) В марте стала 0,84 × х (или 84%) Разница: 100% — 84% = 16% Ответ. В марте стоимость нефти снизилась на 16% по сравнению с январем. |
Разные задачи на проценты: с решениями
Задачи на простые проценты
Задачи с простыми процентами предполагают вычисление процентов лишь от исходного числа.
|
Задача 1. Сколько стоил билет после понижения цены, если число болельщиков возросло на 50 %, а выручка — на 25 % при первоначальной стоимости в 1 рубль 80 копеек? Решение: До снижения стоимости билетов на стадион посещаемость составляла А человек, при этом общая выручка равнялась 1,8А рублей. Повышение цен привело к увеличению числа зрителей на 50%, таким образом, их количество составило 1,5А человек. Выручка увеличилась на 25%, поэтому сейчас её величина равна 1,25 × (1,8 × А) рублей. Пусть стоимость билета составит x рублей. В этом случае выручка будет равна произведению x на 1,5 и A. 5) Составляем уравнение: х × 1,5 × А = 1,25 × 1,8 × А 6) Делим обе части уравнения на А и находим х: х × 1,5 = 1,25 × 1,8 Ответ: 1 рубль 50 копеек |
|
Задача 2. Дробь увеличена в числителе на 20%. На какое процентное отношение нужно уменьшить её знаменатель, чтобы дробь в итоге увеличилась вдвое? Решение. Предположим, у нас есть дробь. Если увеличить числитель на 20%, то есть сделать его равным одной пятой большему значению, то эта новая дробь станет в два раза большей, чем исходная. Для этого нужно уменьшить знаменатель: меньший знаменатель делает значение всей дроби большим. Удвоение дроби достигается сокращением её знаменателя на 40 процентов. Если прежде число составляло сто, то сейчас оно должно быть шестьдесят. Ответ. 40% |
|
Задача 3. Матроскин желает получить за литр молока 25 рублей, но магазин вычитает 20% от стоимости товара. Какова цена молока в магазине? Решение. Если магазин реализует молоко по цене А рублей, то после вычета 20% от стоимости товара у Матроскина остаётся 0,8А = 25 рублей. Таким образом, А равно 31,25 рублям. Ответ. 31 рубль 25 копеек |
Задачи на сложные проценты
Расчет сложных процентов проводится поэтапно, начиная с нового значения в каждом цикле.
|
Задача 1. Товар первоначально стоил тысячу рублей. Продавец увеличил цену на десять процентов, а спустя месяц уменьшил её снова на десять процентов. Какова стала конечная цена товара? Решение. Если товар первоначально стоил 1000 рублей, то после повышения цены на 10% его цена составила 1,1 × 1000 рублей. После снижения этой цены на 10%, он стал стоить 0,9 × 1,1 × 1000 рублей, что равно 990 рублям. Ответ. 990 рублей |
|
Задача 2. Сначала стоимость товара снизилась на 10%, потом еще на 10%. Получится ли дешевле, если сразу убрать 20%? Решение. Товар первоначально оценивался в А рублей. После двух снижений цены его стоимость составила 0,81А (0,9 × 0,9 × А). Сразу же уменьшив цену на 20%, товар обойдётся дешевле — 0,8 × А. Ответ. Да |
|
Задача 3. На какой процент изменится площадь прямоугольника, если его длина возрастёт на 30%, а ширина сократится на 30%? Решение. Длина прямоугольника обозначим буквой A, ширину — буквой B. Площадь первоначальная равна произведению A и B. При увеличении длины на 30% значение становится 1,3A. При уменьшении ширины на 30% значение равно 0,7B. Теперь считаем новую площадь: 1,3A × 0,7B = 0,91AB Уменьшение составило до 91% от первоначальной площади. 9%. Ответ. Уменьшится на 9% |
Задачи с делением на сто
При расчёте процентов деление на сто используется во всех случаях.
|
Задача 1. Сколько рублей добавили к цене товара после повышения на 15%? Решение. Если первоначальная стоимость товара равна x рублям, то при увеличении цены на 15% новая цена будет составлять 1,15x рублей. Из условия задачи: 1,15x = 1150. Теперь решим уравнение: x = 1150/1,15 = 1000 Начальная стоимость товара составляла тысячу рублей. Увеличение цены: 1150 − 1000 = 150 рублей. Ответ. Цена увеличилась на 150 рублей. |
|
Задача 2. Сколько отличников из 25 учеников в классе, если 12 процентов составляют отличники? Решение. Всего в классе 25 учеников, и 12% из них — отличники. Для определения числа отличников требуется рассчитать двенадцать процентов от двадцати пяти. 25 × 12/100 = 25 × 0,12 = 3 Ответ. В классе 3 отличника |
Задачи на составление пропорции
Рассматривают пропорции тогда, когда нужно найти неизвестное по отношению двух дробей.
Чтобы сформировать пропорцию с процентами, необходимо записать соотношение, в котором один компонент представлен в виде процента. Если, например, 20 процентов от числа Х равны 50, то пропорция будет иметь вид:
20/100 = 50/X. Решая ее, получаем X = 250
А теперь к решению задач.
|
Задача 1. В первый день рабочие скосили половину поля и ещё 2 гектара, а во второй день — 25% оставшегося участка и оставшиеся 6 гектаров. Определите площадь поля. Решение. За первый день убрали половину поля и ещё 2 гектара, во второй — четверть от остатка и шесть гектаров. Эти шесть гектаров составляют семьдесят пять процентов оставшейся части. Следовательно, вся оставшаяся часть равна восемьм га. Если это то, что осталось после первого дня, а до этого убрали половину луга и ещё два гектара, то половина луга — десять га. Значит, весь луг — 20 га. Ответ: 20 га |
|
Задача 2. В драматическом кружке число девочек составляет 125% от числа мальчиков. Решение. Если девочек А человек, то мальчиков 0,8А человек. Количество девочек в отношении к мальчикам равно A / (0,8A) = 1,25, то есть составляет 125% от числа мальчиков. Ответ. 125% |
|
Задача 3. Засорение трубы, подающей воду в бассейн, снизило приток воды на 60%. На какое percentage времени понадобится больше для наполнения бассейна? Решение. Сначала труба заполняла бассейн в течение определённого времени, скажем, за 100%. После этого поток воды снизился на 60%, оставив лишь 40% от первоначальной скорости наполнения. Медленное течение воды потребует больше времени для заполнения бассейна. Уменьшение скорости на 40% повлечет за собой увеличение времени в 2,5 раза. Время увеличилось на 150 процентов по сравнению с его предыдущим значением. Ответ. Время увеличится на 150% |
Задачи на соотношение чисел
Это отношение, сравнение частей к целому.
|
Задача 1. Из 100 килограммов грибов после подсушивания получилось 98 кг. Решение. Из имеющихся 100 кг грибов с влажностью 99% получается, что всего лишь 1% составляют сухие грибы. Остальное – вода. Таким образом, сухой вес одного килограмма грибов равен одному килограмму. Изделие высохло до показателя влажности 98%. Два процента составляют сухое вещество, остальные – вода. Чтобы определить массу сухого вещества, необходимо поделить его массу в килограммах на процентное содержание влаги. В данном случае, 1 кг сухого вещества делится на 2% (0,02), что дает 50 кг. Ответ. После высушивания масса грибов будет равна 50 килограммам. |
|
Задача 2. Два туриста идут по дороге. Один из путешественников делает шаги на 10% короче и на 10% чаще, чем другой. Кто из туристов идет быстрее и почему? Решение. Допустим, второй путешественник проделывает A шагов, каждый размером в B, то его пройденное расстояние будет равно произведению A на B. Первый турист делает шаги длиной в 90% от шага второго туриста и на 10% чаще. Его путь будет равен 0,99 умножить на путь второго туриста. Ответ. Второй турист двигается с большей скоростью, поскольку уже преодолел более длинное расстояние. |
|
Задача 3. Первый покупатель приобрел 25% от начальной площади ткани, второй — 30% оставшейся после этого площади, а третий — 40% от того, что осталось после покупки второго покупателя. Сколько процентов ткани осталось не проданной? Решение. Предположим, что всего было p полотна. Первый покупатель приобрел четверть всего полотна, что составляет 0,25p, оставшийся объем – 0,75p. Второй покупатель приобрел 30% от оставшегося полотна, то есть 0,3 × 0,75p = 0,225p, и осталось 0,75p − 0,225p = 0,525p. Третий покупатель приобрел 40% от оставшегося полотна, что составило 0,4 × 0,525p = 0,21p. В итоге осталось 0,525p − 0,21p = 0,315p. Ответ: Осталось 0,315 единицы полотна, что составляет 31,5 процента от исходного объема. |
|
Задача 4. Смешали 5 литров сливок жирностью 35% с 4 литрами сливок жирностью 20%. К полученной смеси добавили 1 литр воды. Какова жирность смеси? Решение. Чтобы решить задачу, надо посчитать общее содержание жира в смеси. Проанализируем каждый компонент: В первом компоненте содержится 5 литров сливок, жирность которых составляет 35%. Второе вещество для приготовления: четыре литра сливок с содержанием жира двадцать процентов. Масса жира в этих сливках равна … . Третий компонент — один литр воды. Вода не содержит жира, поскольку ее жирность равна 0%. Теперь вычислим общее количество смеси. 5 + 4 + 1 = 10 литров. И общий объём жира в смеси: 1,75 + 0, 8= 2,55 литра жира. Для определения жирности смеси требуется рассчитать долю жира в общей её массе. 2,55/10 × 100 = 25,5% жирности смеси. Ответ. Жирность полученной смеси — 25,5% |
Тестовые задания на проценты
Подготовили три контрольных работы по математике для учащихся пятых и шестых классов. В них – задачи, решаемые с помощью процентов.
|
1. Средний уровень Задача. Сумка стоила 4500 рублей со скидкой в 20%. Сколько теперь стоит сумка? Ответ: 4500 × 0,8 = 3600 рублей. |
|
2. Посложнее Как изменилась цена ноутбука после повышения на 15% и последующего снижения на 10%? Решение: 1) После увеличения на 15%: X × 1,15 2) После уменьшения на 10%: X × 1,15 × 0,9 = X × 1,035 3) Итог: ноутбук подорожал на 3,5% Ответ. Цена увеличилась на 3,5% |
|
3. Сложный уровень В молоке содержится 87% воды. Из 12 литров молока выпарилось 2 литра воды. Какая теперь концентрация воды в остальном молоке? Решение: 1) Масса воды в начале: 12 × 0,87 = 10,44 литра 2) После испарения: 10,44 — 2 = 8,44 литра Объём свежего раствора составляет 10 литров. 4) Новая концентрация воды: (8,44 / 10) × 100% = 84,4% Ответ. Концентрация воды стала 84,4% |
Цели пробных заданий Единого государственного экзамена.
Решение задач по подготовке к ЕГЭ поможет закрепить изученный материал.
В сборнике представлены все задания на проценты прошлых лет с официального сайта Федерального института педагогических измерений.
Демонстративный вариант ЕГЭ по базовой математике 2023 года от ФИПИ.
Задача № 20. В понедельник акции компании выросли на некоторое число процентов, а во вторник упали на то же самое число процентов. В результате цена акций стала на 4 % ниже, чем при открытии торгов в понедельник. На сколько процентов подорожали акции компании в понедельник?
Ответ: 2%.
Первый вариант ЕГЭ по базовой математике на 2024 год.
Задача № 15В сентябре новый смартфон стоил 2400 рублей, а в октябре — 1320 рублей. На какое количество процентов упала стоимость телефона с сентября по октябрь?
Ответ: 45%.
Демонстрационный вариант ЕГЭ по базовой математике для года 2025 от ФИПИ.
Задача № 15. 25 процентов
Ответ: 25%.
Задача № 20. В смешивании участвовали восемь литров пятнадцатипроцентного и двенадцать литров сорокапроцентного растворов того же вещества. Какова процентная концентрация полученного раствора?
Ответ: 28%.
Три совета для обучения учеников решению задач с процентами.
1. Объясните основы понятий и формул.
- Попросите учащихся объяснить, что такое проценты, как их можно представить в виде дробей и десятичных дробей.
- Разъясните ключевые формулы, такие как:
Процент от числа = P/100 × X, Здесь P выражает долю, а X — исходное количество.
2. Тренируйте школьников на практических примерах.
- Сосредоточьтесь на практических задачах, схожих с вопросами ЕГЭ. Развивайте умения решать проблемы, связанные с изменением цен, свойствами сплавов и концентрацией растворов, а также составлять уравнения с использованием процентов.
- Научите обучаемых последовательно решать подобные задачи: преобразование процентов в дроби, определение изменения в процентах и нахождение доли числа, составляющей заданный процент.
3. Планируйте работу методично.
- Проводите регулярные тренировки по решению задач с процентами, используя задания из реальных ЕГЭ или демо-вариантов. Научите учеников разрабатывать стратегию решения подобных задач, например, как быстро преобразовать проценты в десятичные дроби.
- Учитесь избегать распространенных ошибок.
Список литературы по теме статьи
- А. А. Быков. «Сборник задач по математике для абитуриентов». ГУ ВШЭ, 2006.
- Типовые экзаменационные варианты ЕГЭ-2025 по математике (базовый уровень). Издательство: Национальное образование, 2025. 30 вариантов.
- Потапов М.К., Олехник С.Н., Нестеренко Ю.В. Конкурсные задачи по математике. издательство «Наука», 1992.
- Учебник «Алгебра. 9 класс» под редакцией С.А. Теляковского. Издатель: Просвещение, 2023 года.
- «Алгебра и начала анализа. 10–11 класс» под редакцией А.Н. Колмогорова. Издательство «Просвещение», 2022-2025.
- Учебное пособие «Математика базовый уровень. Единый государственный экзамен. ЕГЭ-2025» с вариантами для 10–11 классов от Ф. Ф. Лысенко и С. О. Иванова, издательство Легион, 2025 года.
- Пособие «ЕГЭ-2025. Математика. 10–11 классы. Тематический тренинг» под редакцией Ф. Ф. Лысенко и С. О. Иванова. Издательство: Легион, 2025.
- Н. Я. Виленкин, С. И. Шварцбурд, А. С. Чесноков написали учебник «Математика. 5 класс. Базовый уровень» в двух частях. Выпустил его издательство «Просвещение» в 2023 году.