Данная статья представляет собой личную позицию колумниста. Точка зрения автора не обязательно отражает позицию редакции «Педсовета».

Люди, когда-либо знакомящие школьников с основами комбинаторики, хорошо знают, что у них часто возникают сложности с выбором подходящего комбинаторного правила – особенно в начале обучения, но у некоторых – даже спустя время. В сети, а также в специализированной литературе можно найти несколько советов по этому поводу.

Иногда эти советы трудно понять и применить на практике, особенно правила суммы и произведения, которые часто связаны с неясным понятием «одновременности» выбора. Кроме того, они сформулированы довольно нечетко и приблизительно. Так, правило суммы соотносят с логическим «или», а правило произведения – с логическим «и». Это приводит к тому, что они не всегда применимы к различным ситуациям, что и сами авторы сдержанно отмечают, тем самым подрывая ценность этих рекомендаций.

О каких правилах речь

Правило произведения. Выбор первой компоненты упорядоченного набора возможен k₁ способами, после чего вторую – k₂ способами, …, после чего последнюю, n-ую можно выбрать kn способами. Тогда весь этот набор можно построить k₁ • k₂ •… • k_n способами (иначе говоря, существует k₁ • k₂ • … • k_n таких различных наборов).

Правило суммы. Пусть объект a₁ можно выбрать n₁ способами, объект a₂ можно выбрать n₂ способами, …, объект a_k можно выбрать n_k способами, причём выбор одного объекта исключает одновременный выбор другого объекта. Тогда выбор « либо a₁, либо a₂, …, либо a_k» можно осуществить n₁ + n₂ + … + n_k, способами то есть можно построить n₁ + n₂ + … + n_k различных наборов, удовлетворяющих вышеприведённым условиям.

Эти правила сами по себе понятны, однако трудности возникают при их использовании учащимися. В частности, многие школьники при решении сложных комбинаторных задач нередко сталкиваются с затруднениями в выборе подходящего правила, что приводит к ошибкам.

Строго говоря, любую комбинаторную задачу можно решить, опираясь только на эти два правила, поскольку формулы для вычисления количества комбинаторных объектов — сочетаний, размещений, перестановок, с повторениями и без них — по сути являются конструкциями, созданными с использованием правил произведения и суммы. Поэтому было бы весьма полезно предоставить учащимся простые и легко запоминающиеся методы выбора необходимого комбинаторного правила для конкретной задачи, речь идёт о выборе из этих двух.

Когда следует применять какое правило

Для начала договоримся с учащимися. Как известно, в математике логическое «или» является неисключающим. Это означает, что утверждение «в Аравии постоянно идёт дождь или там водятся единороги» признаётся истинным не только в тех случаях, если:

• в Аравии частенько стоит сушь и местные единороги страдают от жажды;
• либо если в дождливой Аравии вряд ли удастся отыскать единорога;
• но и в том случае, если аравийские единороги вечно мокнут под ливнями.

Для обозначения исключающего «или», при котором из нескольких утверждений, соединённых данной связкой, может быть правдивым только одно, а не два или больше одновременно, мы будем использовать конструкцию «либо – либо», что представляется более понятным».

В чём преимущества данного подхода

Во-первых, адекватность. Не вызывает сомнений, что первая часть аналогична правилу произведения (часто это так и формулируется: «Допустим, первую компоненту упорядоченного набора можно выбрать k₁ способами, для каждого из них вторую – k₂ способами, …, для каждого из предыдущих последнюю, n-ую – k_n способами…» – ну и так далее), а вторая – правилу суммы.

Во-вторых, универсальность. Я подтверждаю, что он функционирует без сбоев во всех ситуациях, когда применимы наши два принципа. Это вполне объяснимо, принимая во внимание его соответствие этим принципам.

В-третьих, простота применения. Эта мантра понятна на интуитивном уровне и может быть непринужденно применена к различным задачам, связанным с текстом.

В-четвёртых, высокая степень запоминаемости, в особенности при использовании наиболее простой формулировки. Благодаря простоте запоминания этой фразы, её можно рекомендовать в качестве мнемонического средства.

Подводя итог, следует указать, что разработанная методика прошла проверку временем, применяясь на протяжении более тридцати лет и демонстрирующая высокую эффективность. Чтобы научить школьников не подбирать ответы методом проб и ошибок, а верно устанавливать применимое правило в каждом конкретном случае, я настаиваю на логическом обосновании выбора. Учащиеся, используя предложенный в данной статье подход, формулируют свои рассуждения следующим образом: «в рассматриваемой задаче присутствует ситуация «для каждого – каждый», поэтому…».