Известный участник педагогического совета и преподаватель казанского лицея № 131, Альберт Зеличенок продолжаетвносит резкую критику в учебную программу по вероятности и статистике, внедренную в образовательных учреждениях с 1 сентября 2023 года.

В предыдущей статьеЯ анализировал предлагаемый подход к освоению новой дисциплины – «Вероятность и статистика» – для учеников средней школы (7-9 классы). Несмотря на значительные недочеты, о которых я уже высказывался, программа сопровождается учебными материалами. Однако пособия для старших классов (10-11) не были подготовлены к началу учебного года. Только в конце первого семестра появился учебник для десятого класса, но до сих пор он отсутствует в школьных кабинетах. В дальнейшем критический анализ будет основываться исключительно на рабочей программе, утвержденной Министерством просвещения и разработанной согласно федеральному учебно-методическому комплексу.

На комбинаторику выделено минимум времени

В десятиклассном курсе рабочая программа продолжает следовать установленной для младших классов стратегии – избегать формирования у учащихся ясного и систематизированного понимания комбинаторики. На эту тему отводится всего четыре часа из общего количества занятий (34). По сути, это три урока, поскольку один час предназначен для контрольной работы по сразу четырем темам, пройденным в десятом классе.

Поскольку в программе для одиннадцатиклассников тема комбинаций не предусмотрена, то по завершении обучения ученики смогут ознакомиться лишь с базовыми элементами этой важной и интересной области математики:

• Формулой умножения (но без формулы сложения);
• Треугольником Паскаля (который не представляет особой ценности, так как предназначен для упрощения вычисления факториалов и сокращения обыкновенных дробей посредством суммирования);
• Разложением бинома по Ньютону (которое имеет больше отношение к алгебре, чем к комбинаторике);
• сочетания без повторений.

Информация о пяти оставшихся комбинаторных элементах останется недоступной для учащихся с седьмого по одиннадцатый классы, как и обширный запас увлекательных задач и примеров, которые были бы им понятны. К тому же эти элементы способствуют развитию математического мышления и познавательной деятельности в целом.

Законам вероятности подчиняются природные явления и социальные процессы, поэтому современному человеку необходимо уметь мыслить как комбинаторно, так и с учетом вероятностей. Это имеет гораздо большее значение, чем знание тригонометрических таблиц или навыки нахождения производных.

Если мы исключим значительное число задач, связанных с расчетом вероятности, то перед нами встанет выбор: либо бессистемно изучать элементарные и прикладные аспекты, либо погрузиться в сложные теоретические конструкции, которые покажутся непонятными для школьника со средним уровнем интеллектуального развития.

Первый вариант мы наблюдаем у учеников 7-9 классов, а второй — у десятиклассников и одиннадцатиклассников. И особенно это актуально для старшеклассников.

Подписаться

Курс выстроен непоследовательно

Оценим структуру курса в целом. В десятом классе школьников ожидает сжатый повтор материала, который они уже освоили ранее:

• три часа, посвященные теории графов и случайным событиям, а также расчету вероятности по стандартной формуле;
• пять часов будут отведено операциям над случаями, теоремам о перемножении и суммировании вероятностей, а также условной вероятности с учетом независимости событий;
• четыре часа на отдельные аспекты комбинаторики и проверочную работу для оценки усвоения всего вышеперечисленного.
• пять часов на испытания Бернулли;
• Выделено четырнадцать академических часов для изучения случайных величин и законов распределения вероятностей.

Рассмотренная тема представляет собой определенную сложность, однако она достаточно увлекательна и понятна учащимся старших классов. Данный материал мог бы служить завершением курса по основам математической статистики. Тем не менее, изучение в 10 классе является лишь подготовительным этапом, поскольку основной акцент на вероятность и статистику приходится на 11 класс.

Предлагаемый контент выходит за рамки текущего уровня знаний учащихся.

В 11 классе учеников ждет:

• Пять часов отведено для рассмотрения закона больших чисел.
  Полуторачасового периода недостаточно для первоначального ознакомления с материалом и формирования базовых представлений, однако этого крайне мало для более глубокого погружения.
• Шесть часов – это минимальный срок, необходимый для освоения тех разделов математической статистики, которые ранее не были рассмотрены.
  Этот процесс требует значительных усилий, но в целом является выполнимым.
• Четыре часа достаточны для изучения распределений случайных величин: непрерывного типа, экспоненциального и нормального.
  Для глубокого понимания непрерывных случайных величин необходимо хорошее знание непрерывных функций и интегрального исчисления. Не обойтись и без изучения пределов функций. Тем не менее, в программах обучения для школ и лицеев предполагается свести изучение этих разделов к абсолютно необходимым сведениям. Изучение темы пределов вообще отсутствует.
• два часа на распределение Пуассона.
• Выделяется шесть академических часов на анализ взаимосвязей между случайными переменными (включая ковариацию, корреляционный коэффициент, линейную регрессию и сопутствующие вопросы).

Степень теоретической проработки вероятностного анализа, предлагаемая для учеников одиннадцатиклассных групп, представляется чрезмерной и не учитывает особенности развития подростков. Значительная часть выпускников потеряет интерес к предмету из-за инстинктивного стремления к сохранению собственных ресурсов.

В то же время учебный год завершается 11 часами обобщения материала и его структурирования – что, по сути, является подготовкой к единому государственному экзамену. При этом вышеперечисленные темы не имеют прямого отношения к содержанию этого экзамена.

Педагогический состав нуждается в дополнительной подготовке к преподаванию данного курса.

Обычный наставник старших классов, специализирующийся на математике, не обладал достаточными знаниями даже по тем требованиям, которые предъявлялись ранее. Я лично убедился в этом, поскольку многие годы проводил для коллег занятия, посвященные основам комбинаторного анализа и теории вероятностей с целью повышения их профессионального уровня.

Непонятно, где взять большое количество опытных преподавателей математики, которые способны не просто заучивать учебный материал, но и доступно объяснять сложные темы, отвечать на глубокие вопросы того единственного ученика (который практически присутствует в каждом коллективе), проявляющего интерес к предмету и стремящегося понять его, а не погрузиться в сон вместе со всем остальным классом.

Что можно исправить

Принимая решение о пересмотре существующей учебной программы для старших классов, я чувствую ответственность за то, чтобы предложить альтернативный вариант.

В десятом классе целесообразно начинать с более детального рассмотрения фундаментальных принципов графовой теории.

• понятие графа;
• степень вершины;
• критерий существования графа;
• связность;
• эйлеровы графы и критерий эйлеровости;
• изоморфные графы;
• плоские графы и формула Эйлера;
• цепи и циклы; деревья и их свойства;
• представление о цветных и об ориентированных графах.

Затем необходимо освоить базовые положения комбинаторики, соответствующие уровню, на котором они успешно применяются в специализированных математических учебных заведениях уже многие годы: неструктурированные множества и упорядоченные последовательности; принципы сложения и перемножения; шесть основных правил сочетаний; биномиальная теорема с её расширениями; техника распределения объектов по ящикам. И обязательно сопровождать это практикой решения большого количества упражнений.

Одиннадцатый класс, на мой взгляд, лучше отвести под изучение ключевых положений теории вероятностей:

• алгебра событий;
• классическая схема вероятностей;
• теоремы сложения вероятностей;
• условная вероятность и независимость событий;
• формулу произведения вероятностей; схематическое представление событий в виде дерева.
• формула полной вероятности и теорема Байеса;
• понимание статистических моделей вероятностей и закономерность больших выборок, а также геометрические схемы для расчета вероятностей.

Также необходимо осветить базовые принципы математической статистики:

• испытания Бернулли;
• дискретные переменные, операции над ними (сложение, умножение) и их основные числовые показатели.
• свойства и вычисление последних;
• Это может быть интерпретировано как описание случайного процесса, не имеющего дискретных скачков.

В завершение учебного периода следует запланировать около восьми часов для повторения материала и подготовки к экзаменам по ЕГЭ.

Для создания методического пособия предназначенного для старшеклассников (десятого-одиннадцатого класса) целесообразно взять за отправную точку книгу Е. А. Бунимовича и В. А. Булычева под названием «Вероятность и статистика». Однако, потребуется его значительная переработка и расширение содержания.

Я не питаю больших иллюзий относительно того, что мои слова будут замечены представителями системы образования, но необходимость организации качественного обучения азам комбинаторики, теории вероятностей и математической статистике в школах слишком велика, чтобы я мог хранить молчание. Требуется масштабное обсуждение этого вопроса среди специалистов. Считаю, что моя инициатива по его возобщению уже предпринята.