Автор статьи высказывает свою точку зрения, которая может отличаться от позиции редакции «Педсовета».

Каждому специалисту в области математики хорошо знакомо понятие независимости двух событий. Его формулировка такова:

Определение 1События А и В считаются независимыми, когда вероятность одного события не меняется при наступлении другого. Это выражается двумя формулами:

P (A) = P (A|B) = P (A|); P (B) = P (B|A) = P (B|).

В обычных школьных учебниках данное понятие объясняется по-другому.

Определение 2. События А и В называются независимыми, если P (AB) = P (A) P (B).

В целях упрощения будем именовать первое определение «научным», а второе – «школьным».

Сопоставим эти два определения. В первую очередь, заметно, что научное определение труднее поддается проверке. Однако его суть совершенно ясна: согласно данному определению, происшествия не оказывают взаимного воздействия. Таким образом, вероятностная независимость соответствует обычному пониманию независимости, согласуется с базовой логикой и здравым рассуждением. Это, вне сомнения, помогает учащимся лучше усвоить этот аспект теории вероятностей.

Определение независимости, используемое в школе, кажется надуманным. Действительно, почему равенство, указанное во втором определении, должно трактоваться как «независимость событий»?

Я предпринял попытку установить взаимосвязь между научным и школьным определениями независимости. Вскоре стало очевидно, что они не идентичны. Тогда передо мной возник вопрос: какие условия необходимо соблюдать для рассматриваемых явлений, чтобы обеспечить их соответствие?

Под достаточно нетяжелыми ограничениями удалось добиться желаемой равносильности. Кроме того, при таких ограничениях проверить «научную» независимость событий стало значительно проще: вместо шести уравнений достаточно установить лишь одно.

Иными словами, появилась возможность сформулировать и обосновать следующую теорему. В рамках этой теоремы под независимостью событий подразумевается именно «научная», что представляется мне с точки зрения методологии наиболее корректным; понятие независимости в школьном курсе вероятностей соответствует условию номер семь в предложенной формулировке.

Теорема (критерий независимости двух случайных событий).

Пусть вероятности событий А и В не равны ни 0, ни 1.

События А и В независимы при соблюдении любого из семи взаимоэквивалентных утверждений.

1. P (A) = P (A|B);
2. P (A) = P (A|);
3. P (A|B) = P (A|);
4. P (B) = P (B|A);
5. P (B) = P (B|);
6. P (B|A) = P (B|);
7. P (AB) = P (A) P (B).

Доказательство.

Сперва докажем равноценность семи условий (с учётом ограничений из теоремы).

Условие 1 эквивалентно формуле вычисления условной вероятности: Р(А) = Р(АВ)/Р(В). Что равнозначно пункту 7.

Аналогично 4 равносильно 7.

Следовательно, условия 1, 4 и 7 являются взаимосвязанными в контексте данной теоремы.

Заметим: Р (А) = Р (А(В+)) = P (A+АВ) = P (A) + Р(АВ), откуда P (A) = Р (А) – Р(АВ).

Условие 2 эквивалентно ряду равенств: P(А) = P (A)/P () = (Р(А) – Р(АВ))/(1 – Р(В)), то есть P(А) – P(А)Р(В) = P(А) – P(АВ), а значит, P(А)Р(В) = P(АВ), что совпадает с условием 7.

Аналогично условие 5 равносильно условию 7.

Условия два и пять эквивалентны седьмому.

Условие 3 эквивалентно равенству P(AB)/P(В) = P(A)/P() = (Р(А) – Р(АВ))/(1 – Р(В)), т. е. Р(АВ) – Р(АВ)Р(В) = Р(А)Р(В) – Р(АВ)Р(В) (перемножили в первой и последней дробях числители и знаменатели «крест-накрест», как при работе с пропорциями), откуда.

Р(АВ) = Р(А)Р(В), а это опять-таки условие 7.

Аналогично условие 6 равносильно условию 7.

Следовательно, положения третьего и шестого пунктов также соответствуют условию седьмого, то есть, подытоживая, каждое из условий от первого до седьмого эквивалентно всем остальным.

Затем перейдем к непосредственному обоснованию нашего критерия.

Примем к рассмотрению, что события А и В независимы в научном смысле. Тогда согласно определению 1 независимости двух событий выполняются условия 1 – 6. Исполнение хотя бы одного из этих шести условий по доказываемому ранее гарантирует выполнение условия 7.

В одну сторону теорема доказана.

Теперь представим ситуацию наоборот: существует условие, которое соответствует одному из пунктов от первого до седьмого. Тогда, согласно предыдущим рассуждениям, верны и остальные шесть утверждений. Следовательно, соблюдаются все пункты от одного до шести – а это в совокупности равносильно независимости событий А и В с точки зрения определения номер один. Таким образом, теорема подтверждена также и в обратном направлении.

Таким образом, теорема доказана полностью.

Это доказательство понятно ученикам 9–11 профильных математических классов, как показал мой практический опыт.

Искренне надеюсь, что представленные материалы данной публикации, и особенно критерий независимости двух случайных событий, сформулированный и обоснованный здесь, окажутся полезными для коллег, обучающих вероятность и статистику, чтобы они могли ответить на вопросы наиболее заинтересованных и требовательных учеников.

---