Данная статья представляет собой личный взгляд колумниста. Позиция автора не обязательно отражает точку зрения редакции «Педсовета».

Известно, что для решения задач, связанных с применением формулы полной вероятности, можно использовать не только саму формулу, но и построение дерева вероятностей для соответствующего случайного эксперимента. Этот метод широко распространен и особенно полезен для школьников, у которых преобладает образное, наглядное мышление, а не абстрактное.

Решение задач, связанных с формулой Байеса (которая является следствием формулы полной вероятности), требует иного подхода. Использование дерева вероятностей для подобных задач не всегда эффективно и приводит к громоздким решениям. Гораздо целесообразнее применять формулы полной вероятности и Байеса, чем пытаться искусственно адаптировать дерево случайного опыта или навязывать к нему формулу Байеса. В результате получаемые решения оказываются сложными для понимания учениками, предпочитающими образное мышление, а учащиеся, склонные к логическому мышлению, справедливо задаются вопросом о целесообразности построения и заполнения дерева, если искомое значение можно вычислить непосредственно с помощью формул. Необходимо придерживаться единой стратегии: либо использовать только формулы, либо ограничиваться исключительно деревьями, отказавшись от формул и используя лишь правила умножения (для вычисления вероятностей совместных событий) и сложения (для расчёта вероятностей несложных событий).

В настоящей работе представлен способ решения задач, который учитывает существующие замечания и базируется на создании специфической модели вероятностей. Эта модель визуализируется и заполняется числовыми значениями, опираясь на первоначальные данные и простые вычисления, которые в любом случае необходимы для определения общей вероятности. Следовательно, для выполнения работы потребуется только построение и заполнение этой модели.

Для иллюстрации метода дополнительного дерева рассмотрим решение одного из прототипов задания № 5 профильного экзамена по математике.

Задача

Анализ крови проводится для всех пациентов, у которых есть подозрение на наличие заболевания. В случае заболевания анализ дает положительный результат с вероятностью 0,95, а у здоровых людей – с вероятностью 0,02. Согласно имеющимся данным, у 6% пациентов, обратившихся с подозрением на болезнь, действительно диагностировано заболевание. Необходимо определить вероятность того, что пациент, у которого анализ показал положительный результат, на самом деле болен.

Решение

Предлагаем следующие предположения: Н1 – пациент имеет заболевание, Н2 – пациент здоров. Событие, вероятность которого нам предстоит определить, обозначим как А – анализ показал положительный результат. Необходимо вычислить условную вероятность Р (Н1|А).

Согласно условиям задачи, вероятность события Н1 равна 0,06, вероятность события Н2 – 0,94, вероятность события А при условии Н1 составляет 0,95, а вероятность события А при условии Н2 – 0,02. Полученные данные будут использованы при построении и заполнении дерева вероятностей, на котором рядом с ветвями будут указаны соответствующие условные вероятности (см. рис. 1).

Рис. 1

Вероятность события А (Р(А)) можно определить, суммировав вероятности последних элементов строки, в которых используется А (вместо A): Р(А) = Р (Н1А) + Р (Н2А) = 0,057 + 0,0188 = 0,0758. В дальнейшем, при использовании классического подхода, вероятность Р (Н1|А) рассчитывается с помощью формулы Байеса.

Мы будем использовать другой подход. Для этого построим и заполним специальное дерево вероятностей, которое мы будем называть дополнительным (см. рис. 2). Это также дерево вероятностей, которое формируется с применением правил сложения (включая вычисление вероятности противоположного события на основе вероятности исходного события) и умножения. Однако в дополнительном дереве в качестве гипотез будут использоваться не Н1 и Н2, а А и A (после определения Р(А), которое было рассчитано ранее, можно без опасений работать с такими гипотезами, поскольку теперь мы знаем их вероятности). Искомую вероятность Р (Н1|А) будем обозначать х.

Рис. 2

Согласно проведенному нами анализу при построении «основного» дерева, вероятность Р(Н1А) составила 0,057. В то же время, расчеты, выполненные на основе дополнительного дерева, показали значение 0,0758 х. Отсюда х = 0,057: 0,0758 = 0,751978… ≈ 0,7520.

Полагаю, что приведённого выше примера достаточно, чтобы разъяснить суть метода дополнительного дерева. Однако, для наглядности приведём общий план решения задач, использующих формулу Байеса, с помощью упомянутого метода.

В первую очередь следует подчеркнуть, что формула Байеса уместна в задачах, где присутствует чётко определённая полная совокупность гипотез Нi (которые попарно несовместимы). При этом вероятности этих гипотез известны, и рассматривается событие А, для которого предоставлены условные вероятности при условии истинности каждой из гипотез. Целью является определение вероятности истинности одной из гипотез (без ограничения общности можно предположить, что это гипотеза Н1) при условии наступления события А. Иными словами, требуется рассчитать вероятность Р(Н1|А).

Сначала, согласно методу дополнительного дерева, вычисляется полная вероятность Р(А). Для этого создается основное дерево вероятностей, и рассчитываются все обычные и условные вероятности, используя правила произведения и суммы (см. пример). Этот этап не будет описан подробно, поскольку он хорошо известен всем, кто заинтересован в данной методике. Далее, суммируя вероятности событий последнего уровня, представленных в виде НiА, определяется Р(А).

Теперь создадим дополнительное дерево. На практике оно всегда имеет структуру, показанную на рис. 2 (и его можно даже упростить, как указано в примечании ниже). В качестве новых гипотез рассмотрим события А и A. Вероятность первого события мы только что определили, вероятность второго нам, в сущности, не потребуется (хотя её можно вычислить как 1 – Р(А)). Искомую вероятность Р(Н1|А) обозначим как неизвестную (предположим, х) и внесем полученные числовые данные в дерево, указав значения Р(А) и Р(Н1А), а также х в качестве значения Р(Н1|А). Осталось применить правило умножения для нахождения х: Р(А)∙х = Р(Н1А). В реальных условиях формальные обозначения в этом равенстве заменяются числовыми значениями, что упрощает работу для учащихся, испытывающих неприязнь к сложным математическим символам.

При детальном рассмотрении видно, что в дополнительном дереве необходимы лишь две ветви: одна – от корня к вершине первого слоя, обозначенной Р(А), а вторая – от этой вершины к вершине второго слоя, обозначенной Р(Н1А). Аналогичная ситуация возникает и в «обычном» дереве: для решения задачи требуются не все ветви, а только те, которые ведут к вершинам, в названиях которых присутствует А (не A). Все остальные ветви отображаются исключительно для визуальной привлекательности. Подобный подход актуален и при использовании дополнительного дерева.

Безусловно, метод дополнительного дерева – это лишь один из приёмов, но, будем надеяться, он окажется полезным и для коллег при работе с учащимися, испытывающими трудности с усвоением сложных формул (таких школьников немало, и, по моим наблюдениям, многие, получив возможность выбора между использованием формул и построением дерева, предпочтут последнее), и самим этим учащимся при решении задач, основанных на формуле Байеса. В сущности, мы можем схематично представить основное и дополнительное деревья, указать на соответствующих ветвях и вершинах числа, применяя лишь простые и доступные для понимания правила умножения и сложения – и найти х. Благодаря визуализации и применению всего двух простых правил большинство школьников смогут успешно решать задачу, которая при обычном подходе оказывается для них сложной.

Данный метод легко изучить и применять, и он может оказаться полезен для многих учащихся, помогая им справиться с психологическими и интеллектуальными трудностями, возникающими при решении задач, основанных на формуле Байеса.